7.1 Einfache lineare Regression

7.1 Einfache lineare Regression#

Die lineare Regression gehört zu den überwachten maschinellen Lernverfahren (Supervised Learning). Meist ist sie das erste ML-Modell, das eingesetzt wird, um Regressionsprobleme zu lösen. In diesem Kapitel stellen wir in das Konzept und die Umsetzung der einfachen linearen Regression mit Scikit-Learn ein.

Lernziele#

Lernziele

  • Sie kennen das lineare Regressionsmodell.

  • Sie können erklären, was die Fehlerquadratsumme ist.

  • Sie wissen, dass das Training des lineare Regressionsmodells durch die Minimierung der Fehlerquadratsumme (Kleinste-Quadrate-Schätzer) erfolgt.

  • Sie können mit Scikit-Learn ein lineares Regressionsmodell trainieren.

  • Sie können mit einem trainierten linearen Regressionsmodell Prognosen treffen.

  • Sie können mit dem Bestimmtheitsmaß bzw. R²-Score beurteilen, ob das lineare Regressionsmodell geeignet zur Erklärung der Daten ist.

Regression kommt aus der Statistik#

In der Statistik beschäftigen sich Mathematikerinnen und Mathematiker bereits seit Jahrhunderten damit, Analyseverfahren zu entwickeln, mit denen experimentelle Daten gut erklärt werden können. Falls wir eine “erklärende” Variable haben und wir versuchen, die Abhängigkeit einer Messgröße von der erklärenden Variable zu beschreiben, nennen wir das Regressionsanalyse oder kurz Regression. Bei vielen Problemen suchen wir nach einem linearen Zusammenhang und sprechen daher von linearer Regression. Mehr Details finden Sie auch bei Wikipedia → Regressionsanalyse.

Etwas präziser formuliert ist lineare Regression ein Verfahren, bei dem es eine Einflussgröße \(x\) und eine Zielgröße \(y\) gibt. In der ML-Sprechweise wird die Einflussgröße \(x\) typischerweise als Merkmal (oder englisch Input oder Feature) bezeichnet. Die Zielgröße (manchmal auch Output oder Target genannt), soll stetig sein (manchmal auch kontinuierlich, metrisch oder quantitativ genannt). Zu dem Merkmal oder den Merkmalen liegen \(M\) Datenpunkte mit den dazugehörigen Werte der Zielgröße vor. Diese werden üblicherweise als Paare (wenn nur ein Merkmal vorliegt) zusammengefasst:

\[(x^{(1)},y^{(1)}), \, (x^{(2)},y^{(2)}), \, \ldots, \, (x^{(M)},y^{(M)}).\]

Ziel der linearen Regression ist es, zwei Parameter \(w_0\) und \(w_1\) so zu bestimmen, dass möglichst für alle Datenpunkte \((x^{(i)}, y^{(i)})\) die lineare Gleichung

\[y^{(i)} \approx w_0 + w_1 x^{(i)}\]

gilt. Geometrisch ausgedrückt: durch die Daten soll eine Gerade gelegt werden, wie die folgende Abbildung zeigt. Die Datenpunkte sind blau, die Regressionsgerade ist in rot visualisiert.

../_images/Linear_regression.svg

Fig. 6 Lineare Regression: die erklärende Variable (= Input oder unabhängige Variable oder Ursache) ist auf der x-Achse, die abhängige Variable (= Output oder Wirkung) ist auf der y-Achse aufgetragen, Paare von Messungen sind in blau gekennzeichnet, das Modell in rot. (Quelle: “Example of simple linear regression, which has one independent variable” von Sewaqu. Lizenz: Public domain))#

In der Praxis werden die Daten nicht perfekt auf der Geraden liegen. Die Fehler zwischen dem echten \(y^{(i)}\) und dem Funktionswert der Gerade \(f(x^{(i)}) = w_0 + w_1 x^{(i)}\) werden unterschiedlich groß sein, je nachdem, welche Parameter \(w_0\) und \(w_1\) gewählt werden. Wie finden wir jetzt die beste Kombination \(w_0\) und \(w_1\), so dass diese Fehler möglichst klein sind?

Wie groß ist der Fehler?#

Das Prinzip für das lineare Regressionsmodell und auch die folgenden ML-Modelle ist jedesmal gleich. Das Modell ist eine mathematische Funktion, die aber noch Parameter (hier beispielsweise die Koeffizienten der Gerade) enthält. Dann wird festgelegt, was eine gute Prognose ist, also wie Fehler berechnet und beurteilt werden sollen. Das hängt jeweils von dem betrachteten Problem ab. Sobald das sogenannte Fehlermaß feststeht, werden die Parameter der Modellfunktion so berechnet, dass das Fehlermaß (z.B. Summe der Fehler oder Mittelwert der Fehler) möglichst klein wird. In der Mathematik sagt man dazu Minimierungsproblem.

Für die lineare Regression wird als Fehlermaß die Kleinste-Quadrate-Schätzung verwendet (siehe Wikipedia  → Methode der kleinsten Quadrate). Dazu berechnen wir, wie weit weg die Gerade von den Messpunkten ist. Wie das geht, veranschaulichen wir uns mit der folgenden Grafik.

../_images/kq_regression.png

Fig. 7 Messpunkte (blau) und der Abstand (grün) zu einer Modellfunktion (rot)#

(Quelle: Autor: Christian Schirm, Lizenz: CC0)

Unsere rote Modellfunktion trifft die Messpunkte mal mehr und mal weniger gut. Wir können jetzt für jeden Messpunkt berechnen, wie weit die rote Kurve von ihm weg ist (= grüne Strecke), indem wir die Differenz der y-Koordinaten errechnen: \(r = y_{\text{blau}}-y_{\text{rot}}\). Diese Differenz nennt man Residuum. Danach summieren wir die Fehler (also die Residuen) auf und erhalten den Gesamtfehler. Leider kann es dabei passieren, dass am Ende als Gesamtfehler 0 herauskommt, weil beispielsweise für den 1. Messpunkt die blaue y-Koordinate unter der roten y-Koordinate liegt und damit ein negatives Residuum herauskommt, aber für den 5. Messpunkt ein positives Residuum. Daher quadrieren wir die Residuen. Dann wird diese Fehlerquadratsumme minimiert, um die Koeffizienten des Regressionsmodells zu berechnen.

Einfache lineare Regression mit Scikit-Learn#

Nach diesem theoretischen Exkurs möchten wir Scikit-Learn nutzen, um eine einfache lineare Regression durchzuführen. Aus didaktischen Gründen erzeugen wir uns dazu künstliche Daten mit der Funktion make_regression des Moduls sklearn.datasets. Wir transformieren die zufällig erzeugten Zahlen und packen sie in einen Pandas-DataFrame mit den Merkmalen »Leistung [PS]« eines Autos und dem »Preis [EUR]« eines Autos.

import numpy as np 
import pandas as pd 
from sklearn.datasets import make_regression

X_array, y_array = make_regression(n_samples=100, n_features=1, noise=10, random_state=0)

daten = pd.DataFrame({
    'Leistung [PS]': np.floor(50*(X_array[:,0] + 3)),
    'Preis [EUR]': 100*(y_array+150)
    })

Mehr Details zu der Funktion make_regression finden Sie in der Dokumentation Scikit-Learn → make_regression. Wir visualisieren nun den Preis in Abhängigkeit von der Leistung des Autos.

import plotly.express as px 

fig = px.scatter(daten, x = 'Leistung [PS]', y = 'Preis [EUR]',
    title='Künstliche Daten: Verkaufspreise Autos')
fig.show()

Es drängt sich die Vermutung auf, dass der Preis eines Autos linear von der Leistung abhängt. Je mehr PS, desto teurer das Auto.

Als nächstes trainieren wir ein lineares Regressionsmodell auf den Daten. Lineare ML-Modelle fasst Scikit-Learn in einem Untermodul namens linear_model zusammen. Um also das lineare Regressionsmodell LinearRegression verwenden zu können, müssen wir es folgendermaßen importieren und initialisieren:

from sklearn.linear_model import LinearRegression

modell = LinearRegression()

Mit der Methode .fit() werden die Parameter des linearen Regressionsmodells an die Daten angepasst. Dazu müssen die Daten in einem bestimmten Format vorliegen. Bei den Inputs wird davon ausgegangen, dass mehrere Merkmale in das Modell eingehen sollen. Die Eigenschaften stehen normalerweise in den Spalten des Datensatzes. Beim Output erwarten wir zunächst nur eine Eigenschaft, die durch das Modell erklärt werden soll. Daher geht Scikit-Learn davon aus, dass der Input eine Tabelle (Matrix) \(X\) ist, die M Zeilen und N Spalten hat. M ist die Anzahl an Datenpunkten, hier also die Anzahl der Autos, und N ist die Anzahl der Merkmale, die betrachtet werden sollen. Da wir momentan nur die Abhängigkeit des Preises von der PS-Zahl analysieren wollen, ist \(N=1\). Beim Output geht Scikit-Learn davon aus, dass eine Datenreihe (eindimensionaler Spaltenvektor) vorliegt, die natürlich ebenfalls M Zeilen hat. Wir müssen daher unsere PS-Zahlen noch in das Matrix-Format bringen. Dazu verwenden wir den Trick, dass mit [ [list] ] eine Tabelle extrahiert wird.

# Adaption der Daten
X = daten[['Leistung [PS]']]
y = daten['Preis [EUR]']

Danach können wir das lineare Regressionsmodell trainieren.

modell.fit(X,y)

LinearRegression()
In a Jupyter environment, please rerun this cell to show the HTML representation or trust the notebook.
On GitHub, the HTML representation is unable to render, please try loading this page with nbviewer.org.

Es erfolgt keine Ausgabe, aber jetzt ist das lineare Regressionsmodell trainiert. Die durch das Training bestimmten Parameter des Modells sind im Modell selbst abgespeichert. Bei dem linearen Regressionsmodell sind das die beiden Parameter \(w_0\) und \(w_1\), also Steigung .coef_ und den y-Achsenabschnitt .intercept_.

print(f'Steigung: {modell.coef_}')
print(f'y-Achsenabschnitt: {modell.intercept_}')

Steigung: [85.20452567]
y-Achsenabschnitt: 2179.79000807002

Damit lautet das lineare Regressionsmodell, um aus der PS-Zahl eines Autos \(x\) den Verkaufspreis \(y\) zu berechnen, folgendermaßen:

\[y = 85.2 \cdot x + 2179.\]

Prognosen treffen#

Wenn wir die Parameter des trainierten Modells ausgeben lassen bzw. die lineare Funktion \(y = 85.2 \cdot x + 2179\) verwenden, können wir mit dem linearen Modell Prognosen treffen. Den Umweg über das Ausgeben der trainierten Parameter und dem Basteln einer linearen Funktion können wir uns aber sparen, denn Scikit-Learn stellt für Prognosen mit dem trainierten Modell direkt eine Methode zur Verfügung. Mit Hilfe der predict()-Methode können für jedes Scikit-ML-Modell Prognosen getroffen werden.

Wir möchten uns den kompletten Bereich zwischen 20 PS und 270 PS ansehen und erzeugen daher 100 Punkte in diesem Bereich. Diese packen wir in einen Pandas-DataFrame und verwenden dann die predict()-Methode.

testdaten = pd.DataFrame({
    'Leistung [PS]': np.linspace(20, 270)
    })
prognose = modell.predict(testdaten[['Leistung [PS]']])

Diese Prognose wird dann zusammen mit den Verkaufsdaten in einem Diagramm visualisiert. Dazu generieren wir zuerst den Scatter-Plot mit den Verkaufsdaten und fügen dann mit der Funktion add_scatter() einen zweiten Scatter-Plot zu dem ersten hinzu. In diesem Scatter-Plot sollen die Punkte jedoch durch eine Linie verbunden werden, weshalb wir die Option mode='lines' nutzen. Zusätzlich kennzeichnen wir die Regressionsgerade noch mit dem Namen name='Prognose'.

fig = px.scatter(daten, x = 'Leistung [PS]', y = 'Preis [EUR]',
    title='Verkaufspreise von Autos')
fig.add_scatter(x = testdaten['Leistung [PS]'], y = prognose, mode='lines', name='Prognose')
fig.show()

Der visuelle Eindruck ist gut, aber ist diese Regressionsgerade wirklich das beste Modell? Im nächsten Abschnitt sehen wir uns ein statistisches Bewertungsmaß an, um die Güte des Modells zu beurteilen.

Ist das beste Modell gut genug? Der R²-Score#

Auch wenn wir mit der Minimierung der Fehlerquadratsumme bzw. der Kleinsten-Quadrate-Methode die besten Parameter für unsere Modellfunktion gefunden haben, heißt das noch lange nicht, dass unser Modell gut ist. Bereits die Modellfunktion kann ja völlig falsch gewählt sein. Beispielsweise könnten wir Messungen rund um eine sinus-förmige Wechselspannung vornehmen und dann wäre ein lineares Regressionsmodell völlig ungeeignet, auch wenn die Fehlerquadratsumme minimal wäre.

Wir brauchen daher noch ein Kriterium dafür, ob das trainierte Modell auch valide ist. Für die lineare Regression nehmen wir das Bestimmtheitsmaß, das in der ML-Community auch R²-Score genannt wird. Der R²-Score wird dabei folgendermaßen interpretiert:

  • Wenn \(R^2 = 1\) ist, dann gibt es den perfekten linearen Zusammenhang und die Modellfunktion ist eine sehr gute Anpassung an die Messdaten.

  • Wenn \(R^2 = 0\) oder gar negativ ist, dann funktioniert die lineare Modellfunktion überhaupt nicht.

Auf der Seite https://mathweb.de finden Sie eine Reihe von Aufgaben und interaktiven Demonstrationen rund um die Mathematik. Insbesondere gibt es dort auch eine interaktive Demonstration des R²-Scores.

Drücken Sie auf den zwei kreisförmigen Pfeile rechts oben. Dadurch wird ein neuer Datensatz erzeugt. Die Messdaten sind durch grüne Punkte dargestellt, das lineare Regressionsmodell durch eine blaue Gerade. Im Titel wird der aktuelle und der optimale R²-Wert angezeigt. Ziehen Sie an den weißen Punkten, um die Gerade zu verändern. Schaffen Sie es, den optimalen R²-Score zu treffen? Beobachten Sie dabei, wie die Fehler (rot) kleiner werden.

Wie ist nun der R²-Score für das trainierte lineare Regressionsmodell? Dazu verwenden wir die score()-Methode.

r2_score = modell.score(X,y)
print(f'Der R2-Score für das lineare Regressionsmodell ist: {r2_score:.2f}.')

Der R2-Score für das lineare Regressionsmodell ist: 0.94.

Das lineare Regressionsmodell kann für die Trainingsdaten sehr gut die Verkaufspreise prognostizieren. Wie gut es allerdings noch unbekannte Daten prognostizieren könnte, ist ungewiss.

Zusammenfassung und Ausblick#

In diesem Abschnitt haben Sie das theoretische Modell der linearen Regression kennengelernt. Das Training eines linearen Regressionsmodells mit Scikit-Learn erfolgt wie üblich mit der fit()-Methode, die Prognose mit der predict()-Methode. Bewerten können Sie Prognosequalität mit der score()-Methode. Im nächsten Kapitel betrachten wir die lineare Regression, bei der die Zielgröße von mehreren Merkmalen abhängt.

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